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Matemáticas Discretas


 

Índice

 

Índice...............................................................................        2

Lógica Inductiva y Deductiva.....................................         4

Lógica Deductiva...................................................         4

Deducción......................................................        4

Lógica Inductiva....................................................         4

Inducción Completa......................................        5

Inducción Incompleta ó Científica..............        5

Métodos Inductivos..............................................  5

Tabla de Presencia.......................................         5

Tabla de Ausencia........................................         6

Tabla de Grados............................................        6

Hipótesis.........................................................................         6

Teorema..........................................................................         6

Reglas de Inferencia....................................................         6

Inferencia...............................................................       6

Reglas de Inferencia............................................ 7

Reglas de Adición..........................................        8

Reglas de Simplificación..............................         8

Reglas de Silogismo Disyuntivo...................         8

Reglas de Silogismo Hipotético...................        9

Reglas de Conjunción....................................        9

Reglas de Ponendo Ponens............................        9

 

Métodos de Demostración.......................................... 9

Demostración por el Método Directo................ 10

Demostración por Contradicción.........................  11

Bibliografía.....................................................................        13

 


 

Lógica Inductiva y Lógica Deductiva

 

 

 

      I.            Lógica Deductiva.

Desde Aristóteles se ha dado especial relevancia a la Lógica Deductiva, y en algunos casos se ha llegado a identificar razonamiento con deducción, como si no hubiera más tipos de razonamiento.

Deducción

Es un razonamiento que va de lo general a lo menos general. También podemos definir a la deducción como la inferencia inmediata que parte de dos o más juicios llamados premisas, para obtener otro juicio llamado conclusión.

En la deducción se infiere con absoluta necesidad la conclusión de las premisas. Si la forma es correcta y las premisas son verdaderas, la conclusión será verdadera y el razonamiento será válido. El razonamiento deductivo es válido si sigue las leyes del pensamiento; de lo contrario, es inválido. A la lógica le interesa la validez o invalidez de los razonamientos.

La deducción es también un método que se utiliza en todas las ciencias, particularmente en las Ciencias Formales.

 

 

   II.            Lógica Inductiva.

Según Aristóteles es “el razonamiento que permite pasar de lo particular a lo universal” su introducción al método científico, Gutiérrez Sáenz proporciona la siguiente definición de inducción: “Es el raciocinio en donde, a partir de la observación de una relación constante entre fenómenos, se obtiene una relación esencial, y por tanto, universal y necesaria entre dichos fenómenos”. La inducción puede ser completa o incompleta.

Inducción Completa

Va de todos los hechos particulares observados a su síntesis en una proposición general.

a b c..... son (sujeto)

a b c..... son (predicado)

El oro, el plomo, el hierro... son metales

El oro, el plomo, el hierro... se dilatan con el calor

ˆ   todos los S son P

ˆ   Todos los metales se dilatan con el calor

 Sobre esta clase de Inducción Completa Galileo opinaba que “La inducción, si tuviera que pasar por todos los particulares, sería imposible o inútil; imposible, cuando los particulares fueran innumerables; y cuando fuesen numerables, el considerarlos a todos haría inútil o nula la inferencia por medio de la inducción.

 

Inducción Incompleta o Científica

Es aquella que va de varios hechos particulares a una proposición general o universal.

La inducción incompleta se llama también “Baconiana” en honor a  Sir Francis Bacon, quién expuso sus principios con toda claridad. Este pensador inglés propuso un “Nuevo Organon(Novum Organum)” que sustituyera al de Aristóteles  y sirviera de fundamento a la ciencia. Bacon sostenía que la verdad se fundaba en el silogismo sino en la observación y el método inductivo.

 

III.            Métodos Inductivos.

El primero que ideó un método inductivo fue Francis Bacon. Este método se conoce, precisamente, con el nombre de “Tablas de Bacon”.

Tabla de Presencia

Sobre una naturaleza determinada deben comparecer ante el entendimiento todas las características que se den en dicha naturaleza, incluyendo las materias opuestas.

Tabla de Ausencia

Deben comparecer ante el entendimiento las características que no se  realicen.

 

Tabla de Grados

Deben comparecer ante el entendimiento las características que se dan más o menos veces, sea haciendo una comparación de aumento y disminución en el mismo sujeto, o  comparando varios sujetos entre si(Novum Organum, P II, XI, XII, XIII).

 

 

 IV.            Hipótesis.

Este término proviene del griego: tesis = poner, hipo = debajo. Es decir, la hipótesis es un supuesto, una explicación provisional de algún hecho o fenómeno. Para hacer una inducción la hipótesis debe ser comprobada mediante la experiencia. Si las premisas están justificadas y el argumento es valido inductivamente, la hipótesis esta justificada.

 

 

    V.            Teorema.

Proposición que se obtiene a partir  de axiomas y que afirma una verdad que se puede demostrar racionalmente.

 

 

 VI.            Reglas de Inferencia.

1.       Inferencia.

Es deducir, y deducir es obtener conclusiones a partir de unas premisas. El cálculo inferencial tiene como finalidad facilitar el análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la Inferencia”.

2. Reglas de Inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

 

Ejemplo:

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

\ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

 

Sea:

p:         Usted invierte en el mercado de valores.

q:         Se hará rico.

r:         Será feliz

 

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

p ® q

q ® r

\ p ® r

 

A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

 

 

a)     Reglas de Adición:

Con cualquier premisa o conclusión podemos formular una conclusión disyuntiva en la que uno de sus  miembros sea esa premisa o conclusión.

p

ˆ  pwq

 

b)    Reglas de Simplificación:

Las premisa o conclusiones conjuntivas pueden simplificarse en cualquiera de sus miembros.

ˆ  pwq

p

 

c)     Reglas de Silogismo Disyuntivo:

Siempre que se de una disyunción y dos enunciados condicionales cuyos antecedentes sean cada uno un miembro distinto de esa disyunción, se puede concluir con la disyunción de los consecuentes de los enunciados condicionales

pwq

p’

ˆ p


 

d)     Reglas de Silogismo Hipotético:

Siempre que se den dos condicionales, siendo el consecuente del primero el antecedente del segundo, se puede concluir con un condicional cuyo antecedente del primer condicional y cuyo consecuente sea el consecuente del segundo condicional.

p÷q

q÷r

p÷r

 

e)     Reglas de Conjunción:

Toda premisa o conclusión puede ser enlazada por una conjunción.

p

q

pvr

 

f)     Reglas de Ponendo Ponens:

En una proposición condicional, siempre que se afirme (Poniendo) el antecedente, podemos afirmar (Ponens) el consecuente.

p÷q

p

q

 

 

VII.            Métodos de demostración.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

 

1.  (p Ù q) ® r                     Hipótesis

2.  r ® s                               Hipótesis

3.  q ® (q Ù p)                     Adición tautología 10

4.  q ® (p Ú q)                     3; ley conmutativa, regla 2

5.  q ® r                               4,1; silogismo hipotético, regla 22

6.  q ® s                              5,2; regla 22

7.  s' ® q'                             6; contra positiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

 

1.       Demostración por el Método Directo.

Supóngase que p®q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) ÷ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2,......, pn. Se escribe.

p1

p2

M

pn

\ q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) ÷ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

 

2.     Demostración por Contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

[p  ® (p Ù r) ] Ù [(q Ú s) ® t ]Ù (p Ú s) Þ t

Demostración

 

            1.-        p  ® (p Ù r)                 Hipótesis

            2.-        (q Ú s) ® t                  Hipótesis

            3.-        p Ú s                            Hipótesis

            4.-        t’                                  Negación de la conclusión

            5.-        (qÚ s)’                         2,4; Modus tollens, regla 25

            6.-        q’ Ù s’                         5; Ley de Morgan, 6ª

            7.-        q’                                 6; Simplificación, regla 20

            8.-        s’ Ù q’                         6; Ley conmutativa, 2b

            9.-        s’                                 8; Simplificación, regla 20

            10.-      sÚ p                             3; Ley conmutativa, 2ª

            11.-      p                                  10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

            12.-      q Ù r                            11,1; Modus ponens, regla 24

            13.-      q                                  12; Simplificación, regla 29

            14.-      q Ù q’                          13,7; Conjunción, regla 23

            15.-      Contradicción.

 


 

Bibliografía.

 

Libro

Autor

Editorial

Estructuras de Matemáticas Discretas

Bernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross

Prentice Hall

Elements of Discrete Mathematics

C.L.Liu

Mc graw Hill

Matemáticas Discreta y Combinatoria

Ralph P. Grimaldi

Addiso Wesley

Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación

Jean Paul Tremblay, Ram Manohar

CECSA

Matemáticas Discretas

Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright

Prentice Hall

Matemática Discreta y Lógica

Winfried Karl, Jean Paul Tremblay

Prentice Hall

Matemáticas Discretas

Richard Johnsonbaugh

Gpo. Editorial Iberoamerica

Lógica, testo y cuaderno de trabajo

José W. Wiechers Rivero

Humanismo y Sentido